kencobaの日記

Ideals, Varieties, and Algorithms Exercises 1.2

2. let $\mathcal{F}_2$ be the field from Exercise 1.

a. Consider the polynomial $g(x,y) = x^2 y + y^2 x \in \mathcal{F}_2 [x,y]$ . Show that $g(x,y)=0$ for every $(x,y) \in \mathcal{F}^2_2$ , and explain why this does not contradict Proposition 5.

b. Find a nonzero polynomial in $\mathcal{F}_2[x,y,z]$ which vanishes at every point of $\mathcal{F}^3_2$ . Try to find one involving all three variables.

c. Find a nonzero polynomial in $\mathcal{F}_2[x_1, \dots ,x_n]$ which vanishes at every point of $\mathcal{F}^3_2$ . Can you find one in which all of $x_1, \dots ,x_n$ appear?

a.の解

$\mathcal{F}_2 = \{ 0,1 \}$ と言ってるんだから、 $(x,y)$ のパターンとして $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ をあてはめて具体的に計算する. $g(x,y)$ の計算結果はいずれも0であることが分かる.

なんでこれが、Proposition 5と矛盾しないのか、というと、Proposition 5では infinite fieldを仮定するから.本問の $\mathcal{F}_2$ はfinite fieldなので、矛盾ではない.

b.の解

一例として、 $g(x,y,z) = xyz + xyz$ がある. $(x,y,z)$ に0,1いずれを入れても、 $g(x,y,z)$ は0.

c.の解

b.と同様。 $g(x_1, \dots ,x_n) = x_1 \dots x_n + x_1 \dots x_n$ .