Prelude
なにげにClojureのお話
Awodey 2.8 Exercises
2.8.1
背理法を使わないで証明する方法はないか。
コンセプタンでoto_oto_otoさんが、背理法以外の証明法を紹介していました。
http://d.hatena.ne.jp/oto-oto-oto/20110406/1302109498
http://d.hatena.ne.jp/oto-oto-oto/20110405/1302015174
部分集合を使う方法がある。
2.8.2
Object間の矢印が1つしかないので、必然的にmono,epiになる。
objectを２つとると、矢印は1つしかない。
isoならば、mono,epiだが、
mono,epiであっても、isoでない（inverseがない)ものはある。
2.8.3
g=1_A o g = g' o f o g = g' o 1_B = g'
2.8.5
いつもsplitとretractionがわからない...
spiとsplit epiのちがいって何？
splitが付くか付かないかの違いでしょ。
split monoとsplit epiは、isoのそれぞれ片側だけを言っている。
それぞれ、left inverse,right inverseを持っていることを言っている(完全なinverseってわけじゃないよ)。
(b) fがmonoならgf=1_Aが言える、といいたい。
2.8.6
2.8.7
板書しました。
2.8.9
解答おかしいんじゃない？
対偶をとってるだけで、逆を示していない。
epiなら全射をしめしたいはずなのに、言えてない気がする。
surjecive => epi
epi => surjectiveはどうやったら言えるだろう？
集合圏でやったみたいな、全射でない関数を考えることは、Posetsではできない(monotoneじゃないので)
monotoneな関数を考えれば良いので、考え方は使える。
g1(x)=if x <= b then 0 else 1
g2(x)=if x < b then 0 else 1
ということで、x=bのときだけ振る舞いの違う関数にすればいい。
これが連続な関数だったりしたら、どうなるのかな。
2.8.10
discrete posetってなに？-> 順序がない、つまり通常の集合と同じ。
A discrete poset, meaning a poset such that x ≤ y implies x = y, is a lattice if and only if it has at most one element. In particular the two-element discrete poset is not a lattice.
http://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_(order)
2.8.14
(a)無限版のproductを作ってくださいという話。
選択公理を仮定していいようだ。
整列できるのであれば、順にproductを前からかけていくことができるが、順番あり。
任意の要素のproductをとっていくと、最後は一つになるよ、という論理展開で定義できればよいか。
掛け算が無限にあったらやっぱり収束しないのでだめ。
形式的に定義する。
（b）具体的にUMPを考えるときには、I={0,1}とか小さいので考えていく。
2.8.18
representable functor
P38の式を元に、NをobjectとしてHomを考える。
次回
Ch3 Dualityから。
